Persamaan Differensial Biasa pada Lotka Volterra dan Goodwin Model

Pada kesempatan kali ini, kajianinformasi.blogspot.com akan membahas tentang Persamaan Differensial Biasa pada Lotka Volterra dan Goodwin Model. Persamaan differensial adalah salah satu persamaan yang banyak dijumpai di berbagai bidang ilmu pengetahuan. Beberapa persamaan differensial yang menjadi model dasar dan merupakan batu loncatan dari perkembangan pemodelan adalah Lotka Volterra dan Goodwin. Kedua model ini terkenal di bidang biologi dan ekonomi dan memicu perkembangan persamaan differensial lebih lanjut yang membuat pemodelan tiga variabel menjadi suatu hal yang dapat dianalisis.

Persamaan differensial adalah persamaan matematika untuk fungsi yang tidak diketahui (Ince, 1956). Fungsi ini dapat memuat sebuah variabel atau lebih yang tidak diketahui nilainya, namun memiliki keterkaitan nilai fungsi dengan perubahan nilai fungsi tersebut. Persamaan differensial banyak diterapkan di berbagai bidang ilmu pengetahuan, seperti biologi, ekonomi, dan teknik. Persamaan differensial berkembang terutama pada hubungan yang bersifat deterministik yang melibatkan jumlah yang terus berubah bergantung pada variabel lain secara kontinu pada ruang tertentu seperti kontinu pada waktu atau luas.


Lotka Volterra Model

Model yang dikemukakan oleh Verhulst yang merupakan hasil pemodelan dari sebagian teori yang diungkapkan oleh Thomas Malthus pada essay "An Essay on the Principle of Population". Pemodelan tersebut dikembangkan dengan teori lain pada essay yang sama oleh A. J. Lotka dan Vito Vilterra. Lotka Volterra Model merupakan model yang memperhitungkan interaksi spesies pada sebuah lingkungan. Interaksi spesies merupakan sebuah kunci penting pertumbuhan populasi dan hal tersebut terus berubah secara dinamik sejalan dengan perubahan populasi yang ada.

Pemodelan Lotka Volterra adalah pemodelan antara populasi pemangsa dan populasi mangsa pada sebuah lingkungan yang bergantung satu sama lain berdasarkan hubungan interaksi saling memangsa dan kebiasaan dari kedua spesies. Berikut ini merupakan persamaan pemodelannya.

Keterangan:

y merupakan simbol dari jumlah pemangsa

x merupakan jumlah mangsa

dx/dt dan dy/dt merupakan pertumbuhan pemangsa dan mangsa

α, β, γ dan δ merupakan parameter yang menunjukkan interaksi antara kedua spesies


Contoh interaksi yang mungkin antara dua spesies yang berhubungan adalah antara kelinci sebagai mangsa dan serigala sebagai pemangsa:

α merupakan pertumbuhan alami kelinci tanpa memperhitungkan adanya pemangsa, memperhitungkan jumlah kematian alami dan kelahiran alami;

β merupakan parameter yang menunjukkan interaksi antara kedua spesies
 merupakan konstanta kematian dari kelinci bergantung kepada jumlah serigala dan jumlah kelinci yang ada;

γ merupakan konstanta jumlah kematian serigala pada saat ketidaktersediaan mangsa;

δ merupakan konstanta yang memperhitungkan pertumbuhan serigala dengan adanya jumlah kelinci sebagai mangsa.

Beberapa persyaratan yang diasumsikan pada persamaan ini adalah:

~ Populasi mangsa memiliki makanan yang tersedia setiap saat untuk setiap jumlah populasi;
~ Pemangsa bergantung kepada populasi mangsa sebagai sumber makanan;
~ Pertambahan populasi alami proporsional untuk setiap ukuran populasi; dan
~ Lingkungan tidak berubah terhadap populasi.

Solusi dari persamaan di atas adalah sebuah data periodik antara mangsa dan pemangsa. Pencarian solusi dapat dilakukan dengan metode numerik yang menghitung keadaan di setiap titik yang ada dan mempertimbangkan perubahan jumlah dengan menggunakan solusi Persamaan Differensial.


Referensi

Ince, E.L. 1956. Ordinary Differential Equations. Dover Publications.

Tirtawinata, K. 2011. Pengaplikasian Solusi Persamaan Diferensial Biasa pada Lotka Volterra dan Goodwin Model. (Online) (Makalah IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik - Sem. II Tahun 2010/2011)